концепция
в интервала за дадена неотрицателна функция на , искаме да определим , представена от крива < ; раздел>ос на областта на графиката на клипа, можем да преброим <раздел>
Идеята на интегралното ядро на Риман е да се опитаме да определим интегралната стойност чрез приближаване до безкрайност. Също така имайте предвид, че като отрицателна стойност, стойността на съответната област на също приема отрицателна стойност.
дефинирано
1. разделени секции
затворен интервал [a, b] е деление P е точка за вземане на краен интервал в тази колона . Всеки затворен интервал се нарича подинтервал. Максимумът е дефиниран от подинтервали с дължина: , където .
предефиниране разделена проба . Разделяне на една проба на затворен интервал [a, b] след извършване на разделянето означава , във всеки подинтервал точка на извличане . както е дефинирано по-горе.
Фино сегментиране : при условие, че и образуват затворен интервал [a, b] е примерно разделение, и е допълнително разделен. Ако за някой има като и наличието на като , тогава поставете сегментиране: , наречено сегментиране , на прецизирано сегментиране. Накратко, че след сегментиране се основава на разделяне на предната част, за да се добавят някои точки и маркери.
Така че можем да дефинираме частичен ред във всички проби в този интервал, който е разделен, наречен „Добър“. Ако сегментирането е допълнително разделено фино разделение, първото се казва повече „фино“, отколкото второто.
2. Риман и
към затворен интервал [a, b] с дефинирана функция с реална стойност , вземане на проби и разделяне дефиниция на Риман от , на следната формула:
във формулата е дъщерен интервал с дължина на произведението на стойността на функцията at. Интуитивно, целта е към етикета разстоянието по оста X да е високо, разделено на поддиапазони дълга правоъгълна област.
(цифров Lie Liman и горният десен ъгъл на правоъгълника представлява сумата от площта. Този Lie Liman клони към постоянна стойност, обозначена с интеграла на Риман на тази функция.)
3. Интегралът на Риман
не е строго погледнато, интегралът на Риман се разделя, когато все повече и повече "сложни", когато границите на Риман и тенденциите. Ето доказателство, ще "все по-сложни" "направят строга дефиниция".
е такъв, че "по-добре" ефективен, изисква да клони към нула. Така Само стойността на функцията и се затварят и разликата между площта "под кривата" на правоъгълната област ще бъде по-малка. Всъщност това вероятно е дефиниран интеграл на Риман.
строго определени, както следва :
е функция на върху затворения интервал [a, b] интеграла на Риман, ако и само ако за който и да е , има < section> , така че вземането на проби за всяка сегментация , , подинтервал, дълъг колкото максималната му дължина от , там:
т.е. за функция , ако в затворения интервал [a, b], без значение как се разделя извадката, стига да е достатъчно малък под -интервал максималната дължина, функцията е сумата на Риман клони към определена стойност, след това затворен интервал [a, b] в присъствието на интеграл на Риман и се определя като граница на сумата на Риман, при този път, споменатата функция на Integrability a.
Дефиницията на дефекти не е оперативна, тъй като искате да тествате всички разделяне на пробата е трудно да се направи. Следва въвеждането на друго определение и след това докажете, че те са еквивалентни.
друго определение:
е функция на в затворения интервал [a, b] интеграла на Риман, ако и само ако за всеки има примерно разделение , , всяко подобно „глоба“ от тяхното сегментиране и , са:
тези две дефиниции са еквивалентни. Ако има , който удовлетворява дефиницията на a, тогава той също така удовлетворява и друг. Първо, ако има , удовлетворяващ първата дефиниция, тогава трябва само да вземете който и да е от подинтервалите с максималната дължина на сегментиране. За по-фини от разделението му, подинтервалът очевидно ще е по-малък от максималната дължина на , като по този начин удовлетворява
Интегралът на Риман обикновено се дефинира като Интеграл на Дарбу (т.е. втората дефиниция), като интеграл интеграл на Дарбу Bi Liman е по-прост и по-практичен.
свойства
1. Линеен
Интегралът на Риман е линейна трансформация, т.е. ако и в интервал [a, b] интегрируемото на Риман, и е константа, тогава:
Тъй като интегралната функция на Риман е реално число, следователно фиксиран интервал [a, b], функцията, предоставила интегрируем интеграл на Риман към своето преобразуване , са всички Риманова линейна функция на произведението на функционалното пространство.
2. Качествено положително
(Лебегова мярка за смисъл) Ако функцията е почти навсякъде в интервала [a, b] е по-голяма или равна на 0, тогава тя е [a, b] интеграл също е по-голям от нула на. Ако в интервала [a, b почти навсякъде е по-голям или равен на 0 и е интегриран върху е равен на 0, тогава < /section> почти навсякъде нула.
3. Адитивност
Ако функцията може да се натрупа в [a, c] и [c, b] интервала, може да се натрупа в [a, b] интервала и там
дали a , b , как се установява връзката на размера между c , горните връзки.
4. Други свойства
1) реалната функция [a, b] е интегрируема на Риман, ако и само ако е ограничена и непрекъсната почти навсякъде.
2) Ако [a, b] е реална функция върху риманова интегрируема Лебег, тя е интегрируема.
3) Ако е [a, b] равномерна конвергентна последователност, върху която граница на , тогава:
4) Ако една реална функция е монотонна в интервала, тогава тя е интегрируема по Риман, тъй като множеството от прекъснати точки е изброимо множество.
насърчаване
може да бъде обобщена стойност на интегралната функция на Риман, принадлежаща към размерното пространство на. Дефиниран линеен интеграл, по-специално, тъй като комплексното векторно пространство е реално число, можете също да дефинирате стойностни точки на комплексна функция.
Риманов интеграл, дефиниран само на ограничен интервал, разширение до безкрайни интервали не е удобно. Може би най-простото разширение се определя от границите на интегриране, тоест като неправилни интеграли (неправилен интеграл) едни и същи.
За съжаление, това не е много подходящо. Инвариантността на транслацията (ако функция се движи наляво или надясно, тя трябва да остане непроменен интеграл на Риман) е загубена. Общи изисквания и независими от съществуването на интегралната интеграционна последователност. Дори и това да се срещне, пак не е това, което искаме, тъй като интегралните и последователните граници на Риман вече не са взаимозаменяеми. Например, нека в , другите полета са равни на нула. Всички , . Но равномерно се свежда до 0, е 0 точки. Така . Дори ако това е правилната стойност, можете да видите важен критерий за граничния и обикновения интеграл, заменим за неправилни интеграли NA. Това ограничава приложението на интеграла на Риман.
По-добър подход е да се изостави използването на интеграла на Риман и интеграла на Лебег. Въпреки че интегралът на Лебег, интегралното разширение на Риман на тази точка не изглежда очевидно, но е трудно да се докаже, че всяка интегрируема функция на Риман е интегрируема на Лебег и когато и двете са интегрални, стойността се дефинира последователно.
всъщност директно разширение на интеграла на Риман е интегралът на Хенсток-Курцвайл. Друг подход
Интегралното разширение на Риман се заменя с фактора за определяне на римановото натрупване , грубо казано, това дава друг смисъл, интегрирането на дължината на терена. Това е използваният интегрален метод на Риман - Стилтьес
