koncept
v intervalu pro danou nezápornou funkci
Základní myšlenkou Riemannova integrálu je pokusit se určit integrální hodnotu přiblížením se k nekonečnu. Všimněte si také, že jako záporná hodnota
definováno
1. rozdělené úseky
uzavřený interval [a, b] je dělení P je bod pro konečný interval v tomto sloupci
předefinování rozdělení vzorku . Vydělení jednoho vzorkování uzavřeným intervalem [a, b] po provedení dělicích prostředků
Jemná segmentace : za předpokladu, že
Můžeme tedy definovat částečné pořadí ve všech vzorcích v tomto intervalu rozdělené, nazývané "Jemné." Pokud je segmentace dalším rozděleným jemným dělením, první je více řečeno „jemné“ než druhé.
2. Riemann a
na uzavřený interval [a, b] s reálnou hodnotou definovanou
(digitální Lie Liman a pravý horní roh obdélníku představují součet plochy. Tento Lie Liman má tendenci ke konstantní hodnotě, označované Riemannovým integrálem této funkce.)
3. Riemannův integrál
není striktně vzato, Riemannův integrál se dělí, když je čím dál "sofistikovanější", kdy Riemannovy a trendy limity. Zde je důkaz, že „stále více a více 'sofistikovanějších' 'vytvářejí přísnou definici.
je takové, že je "více 'jemné'" účinné, vyžaduje, aby
přesně definováno takto :
Definice defektů není funkční, protože chcete otestovat všechny
jiná definice:
tyto dvě definice jsou ekvivalentní. Pokud existuje
Riemannův integrál je obecně definován jako Darbouxův integrál (tj. druhá definice), jako integrál Darbouxův integrál Bi Liman je jednodušší a praktičtější.
vlastnosti
1. Lineární
Riemannův integrál je lineární transformace, to znamená, pokud
2. Kvalitativní kladné
(Lebesgueova míra na smyslu) Pokud je funkce téměř všude v intervalu [a, b] větší nebo rovna 0, pak je [a, b] integrál je také větší než nula na. Pokud je
3. Aditivita
Pokud lze funkci
4. Další vlastnosti
1) reálná funkce [a, b] je Riemannova integrovatelná, právě když je téměř všude omezená a spojitá.
2) Je-li [a, b] reálná funkce na Riemannově integrovatelném Lebesgue, je integrovatelná.
3) Pokud
4) Je-li reálná funkce v intervalu monotónní, pak je integrovatelná Riemann, protože nespojitá bodová množina je spočetná množina.
podporovat
lze zobecnit hodnotu Riemannovy integrální funkce patřící do
Riemannův integrál definovaný pouze na omezeném intervalu, rozšířený na nekonečné intervaly není vhodný. Snad nejjednodušší rozšíření je definováno mezemi integrace, tedy jako nevlastní integrály (nevlastní integrál) totéž.
Bohužel to není příliš vhodné. Translační invariance (pokud se funkce posune doleva nebo doprava, měla by zůstat nezměněna Riemannův integrál) ztracena. Obecné požadavky a nezávislé na existenci integrální integrační sekvence. I kdyby se to setkalo, stále to není to, co chceme, protože Riemannův integrál a konzistentní limity již nejsou zaměnitelné. Nechte například
Lepší přístup je opustit používání Riemannova integrálu a Lebesgueova integrálu. Ačkoli Lebesgueův integrál Riemannův integrální rozšíření tohoto bodu nevypadá jako samozřejmé, ale je obtížné dokázat, že každá Riemannova integrovatelná funkce je Lebesgueova integrovatelná, a když jsou obě integrální, hodnota je definována konzistentně.
ve skutečnosti přímým rozšířením Riemannova integrálu je Henstock-Kurzweilův integrál. Jiný přístup
Riemannova integrální extenze je nahrazena Riemannovým definičním faktorem akumulace