käsite
:n tietylle ei-negatiiviselle funktiolle, haluamme määrittää , jota edustaa käyrä < ; leikkeen kaavioalueen osa>akseli, voimme laskea
Riemannin integraalin ydinideana on yrittää määrittää integraaliarvo lähestymällä ääretöntä . Huomaa myös, että negatiivisena arvona myös -alueen vastaavan alueen arvo saa negatiivisen arvon.
määritelty
1. jaetut jaksot
suljettu väli [a, b] on jako P on piste, joka ottaa äärellisen välin tässä sarakkeessa . Jokaista suljettua aikaväliä kutsutaan osaväliksi. Maksimi on pituuden alivälien osalta: , missä .
uudelleenmäärittely näyte jaettu . Jakamalla yksi näytteenotto suljettu aikaväli [a, b] sen jälkeen, kun on suoritettu jakovälineet , jokaisessa osavälissä erotuspiste . kuten edellä on määritelty.
Hieno segmentointi : jos ja muodostavat suljetun välin [a, b] on otosjako, ja on edelleen jaettu. Jos jollekin :lle on tällainen , ja jos on sellainen , laita segmentointi: , kutsutaan segmentaatioksi , tarkennetusta segmentoinnista. Lyhyesti sanottuna, että sen jälkeen, kun segmentointi perustuu jako edessä lisätä joitakin pisteitä ja merkkejä.
Joten voimme määrittää osittaisen järjestyksen kaikille näytteille tässä välissä, jota kutsutaan "Fine". Jos segmentointi on edelleen jaettu hienojako, edellinen on enemmän sanottu "hienoksi" kuin jälkimmäinen.
2. Riemann ja
suljetulle intervallille [a, b] reaaliarvoisella funktiolla, joka on määritelty , näytteenotto ja jako Riemannin määritelmä kohdasta , seuraavalla kaavalla:
kaavassa on alijakson pituus funktion arvon at tulosta. Intuitiivisesti pointti on tagissa X-akselin etäisyys on suuri, jaettuna alialueisiin pitkä suorakulmainen alue.
(Digitaalinen Lie Liman ja suorakulmion oikea yläkulma edustavat alueen summaa. Tämä Lie Liman ja pyrkii vakioarvoon, joka on merkitty tämän funktion Riemannin integraalilla.)
3. Riemannin integraali
ei ole varsinaisesti sanottuna, Riemannin integraali on jaettu, kun se on yhä "kehittyneempi", kun Riemann ja trendit rajoittavat. Tässä on todiste siitä, että "enemmän ja kehittyneemmät" tekevät tiukan määritelmän.
on sellainen, että "hienompi" on tehokas, vaadi yleensä nolla. Siten Vain funktion arvo ja sulkeutuvat, ja "käyrän alla" olevan suorakulmaisen alueen välinen ero on pienempi. Itse asiassa tämä on luultavasti määritelty Riemannin integraali.
tiukasti määritelty seuraavasti :
on funktio suljetulla välillä [a, b] Riemannin integraali, jos ja vain jos jollekin , siellä < section> , niin että minkä tahansa segmentoinnin , otos on aliväli niin pitkä kuin sen enimmäispituus , siellä:
eli funktiolle , jos suljetulla aikavälillä [a, b] riippumatta siitä, kuinka otanta on jaettu, kunhan se on riittävän pieni osa -intervalli maksimipituus, funktio ovat Riemannin summa pyrkii tiettyyn arvoon, sitten suljettu intervalli [a, b] Riemannin integraalin läsnä ollessa, ja se määritellään Riemannin summarajaksi, tällä kertaa Integroitavuuden funktio a.
Vikojen määrittely ei toimi, koska haluat testata kaikki -näytteen jako on vaikea tehdä. Toisen määritelmän käyttöönoton jälkeen ja todista sitten, että ne ovat vastaavia.
toinen määritelmä:
on funktio suljetussa välissä [a, b] Riemannin integraali, jos ja vain jos jollakin :lla on esimerkkijako , , kaikki sellaiset "hienot" kuin niiden segmentointi ja ovat:
nämä kaksi määritelmää ovat samanarvoisia. Jos on , joka täyttää a:n määritelmän, se täyttää myös toisen. Ensinnäkin, jos on , joka täyttää ensimmäisen määritelmän, tarvitsee vain ottaa mikä tahansa segmentoinnin enimmäispituus . Sen jakoa tarkemmille tahdon osaväli on selvästi pienempi kuin -osan enimmäispituus, joten se tyydyttää
Riemannin integraali määritellään yleensä Darboux-integraaliksi (eli toiseksi määritelmäksi), integraaliksi Darboux-integraali Bi Liman on yksinkertaisempi ja käytännöllisempi.
ominaisuudet
1. Lineaarinen
Riemannin integraali on lineaarinen muunnos, eli jos ja väli [a, b] Riemannin integroitava, ja on vakio, niin:
Koska Riemannin integraalifunktio on reaaliluku, eli kiinteä väli [a, b], funktio, joka tarjoaa Riemannin integroitavan Riemannin integraalin sen kuvaamiseen ovat kaikki Riemannin lineaarinen funktio funktionaalisen avaruuden tulosta.
2. Laadullinen positiivinen
(Lebesguen mitta aistilla) Jos funktio on lähes kaikkialla alueella [a, b] on suurempi tai yhtä suuri kuin 0, niin se on [a, b] integraali on myös suurempi kuin nolla. Jos välissä [a, b on melkein kaikkialla, joka on suurempi tai yhtä suuri kuin 0, ja se on integroitu -osion yli, on yhtä suuri kuin 0, < /section> melkein kaikkialla nolla.
3. Additiivisuus
Jos funktio voidaan kumuloida väliin [a, c] ja [c, b], voidaan kertyä [a, b] väliin ja sinne
onko a , b , miten c -kohdan välinen kokosuhde muodostetaan, yllä olevat suhteet.
4. Muut ominaisuudet
1) reaalifunktio [a, b] on Riemannin integroitavissa, jos ja vain jos se on rajallinen ja jatkuva lähes kaikkialla.
2) Jos [a, b] on reaalifunktio Riemannin integroitavalla Lebesguella, se on integroitavissa.
3) Jos on [a, b] yhtenäinen konvergentti jono, jolla -raja on, niin:
4) Jos reaalifunktio on monotoninen välissä, niin se on integroitavissa Riemannilla, koska epäjatkuva pistejoukko on laskettava joukko.
edistäminen
voidaan yleistää Riemannin integraalifunktion arvo, joka kuuluu -ulottuvuusavaruuteen of. Lineaarinen integraali määritelty erityisesti, koska kompleksivektoriavaruus on reaaliluku, voit myös määritellä kompleksifunktion arvopisteitä.
Riemannin integraali määritetty vain rajoitetulle intervalleille, laajennettu äärettömiin intervalleihin ei ole kätevää. Ehkä yksinkertaisin laajennus määritellään integroinnin rajoilla, eli virheellisenä integraalina (epäproper integraali) on sama.
Valitettavasti tämä ei ole kovin sopivaa. Käännösinvarianssi (jos funktio panostetaan vasemmalle tai oikealle, sen pitäisi pysyä muuttumattomana Riemannin integraali) menetetty. Yleiset vaatimukset ja riippumaton integrointisekvenssin olemassaolosta. Vaikka tämä kohtaakin, se ei silti ole sitä, mitä haluamme, koska Riemannin integraalit ja johdonmukaiset rajat eivät ole enää vaihdettavissa. Esimerkiksi annetaan -kentässä muiden kenttien arvoksi nolla. Kaikki , . Mutta konvergoi tasaisesti nollaan, on 0 pistettä. Siten . Vaikka tämä on oikea arvo, näet tärkeän kriteerin rajalle ja tavalliselle integraalille, joka voidaan vaihtaa vääriin integraaleihin NA. Tämä rajoittaa Riemannin integraalin käyttöä.
Parempi lähestymistapa on luopua Riemannin integraalin ja Lebesguen integraalin käytöstä. Vaikka Lebesgue integraali Riemannin kiinteä laajennus tämä kohta ei näytä ilmeiseltä, mutta vaikea todistaa jokainen Riemannin integroitavissa olevat toiminnot ovat Lebesgue integroitavia, ja kun molemmat ovat kiinteä arvo määritellään johdonmukaisesti.
itse asiassa suora jatke Riemannin integraalista on Henstock-Kurzweil-integraali. Toinen lähestymistapa
Riemannin integraalilaajennus korvataan Riemannin kumulaatiomäärittelytekijä , karkeasti sanottuna tämä antaa toisen merkityksen, sävelkorkeuden pituuden integroinnin. Tämä on käytetty Riemann-Stieltjesin integraalimenetelmä
